Termodinâmica Moderna: Máquinas, Demónios e Nanossistemas
Modern Thermodynamics: Machines, Demons and Nanosystems
Resumo
Gra\c{c}as sobretudo ao interesse no comportamento e funcionamento de
sistemas nanom\'{e}tricos, sejam eles de origem
biol\'{o}gica ou relacionados com aplica\c{c}\~{o}es tecnol\'{o}gicas, o
estudo de problemas termodin\^{a}micos ganhou um f\^{o}lego adicional nos
\'{u}ltimos 20 anos, tendo este interesse substitu\'{\i}do em certa medida o
foco na teoria de fen\'{o}menos cr\'{\i}ticos e de transi\c{c}\~{o}es de
fase como um dos assuntos quentes. Tal como \'{e} habitualmente ensinada nos
diferentes cursos de gradua\c{c}\~{a}o, a Termodin\^{a}mica \'{e} um assunto
perfeitamente estabelecido e mais do que testado. A grande diferen\c{c}a
entre a Termodin\^{a}mica tradicional aquilo que denominarei de Termodin\^{a}%
mica Moderna prende-se com a relev\^{a}ncia das flutua\c{c}\~{o}es em
quantidades como a entropia, o trabalho e a energia do sistema. Isso
significa que a melhor representa\c{c}\~{a}o para essas quantidades em tais
condi\c{c}\~{o}es \'{e} probabil\'{\i}stica ao inv\'{e}s de uma formula\c{c}%
\~{a}o determinista que a Termodin\^{a}mica oriunda de sistemas macrosc\'{o}%
picos nos oferece.
Esta formula\c{c}\~{a}o probabilista permite clarificar muitas quest\~{o}es
que foram alvo de discuss\~{a}o intensa ao longo dos tempos, nomeadamente a
quest\~{a}o da reversibilidade de um sistema f\'{\i}sico que \'{e}
intimimamente relacionada com a n\~{a}o-negatividade da varia\c{c}\~{a}o
total de entropia. Atrav\'{e}s das chamadas rela\c{c}\~{o}es de flutua\c{c}%
\~{a}o torna-se poss\'{\i}vel avaliar o quanto um sistema \'{e} irrevers%
\'{\i}vel.
Um dos primeiros desafios colocados \`{a} impossibilidade de varia\c{c}\~{o}%
es negativas de entropia de sistemas isolados em equil\'{\i}brio veio do Dem%
\'{o}nio de Maxwell. Contudo, talvez o maior feito do Dem\'{o}nio de Maxwell
tenha sido o estabelecimento de uma liga\c{c}\~{a}o entre a entropia --- a
equa\c{c}\~{a}o fundamental que define o estado termodin\^{a}mico de um
sistema --- com a quantidade de informa\c{c}\~{a}o sobre esse sistema. Essa
liga\c{c}\~{a}o \'{e} a base do Princ\'{\i}pio de Landauer que nos permite
definir um novo tipo de reservat\'{o}rio de onde se pode extrair trabalho, o
reservat\'{o}rio de informa\c{c}\~{a}o. A separa\c{c}\~{a}o da entropia em
suas componentes abiab\'{a}tica e n\~{a}o-adiab\'{a}tica permite a obten\c{c}%
\~{a}o novas rela\c{c}\~{o}es de flutua\c{c}\~{a}o que se traduzem na indica%
\c{c}\~{a}o que, na realidade, n\~{a}o existe um princ\'{\i}pio de Clausius,
mas um conjunto de rela\c{c}\~{o}es para cada tipo de entropia envolvida na
descri\c{c}\~{a}o do problema.
A introdu\c{c}\~{a}o, ainda que breve, de um conjunto de problemas
relacionados com esta tem\'{a}tica \'{e} o alvo principal deste documento
que n\~{a}o encontra espa\c{c}o nos cursos de Termodin\^{a}mica e de Mec\^{a}%
nica Estat\'{\i}stica oferecidos durante a gradua\c{c}\~{a}o e na maioria
dos cursos de p\'{o}s-gradua\c{c}\~{a}o oferecidos na maioria das institui%
\c{c}\~{o}es e que visa estimular graduandos e p\'{o}s-graduandos no estudo
deste tipo de problemas. Ao contr\'{a}rio de um curso tradicional, v\'{a}%
rios detalhes a respeito de t\'{e}cnicas matem\'{a}ticas s\~{a}o
apresentados de forma t\~{a}o sucinta quanto poss\'{\i}vel de forma a que
seja poss\'{\i}vel entender-se os resultados que pretendemos obter. Para
maiores detalhes s\~{a}o disponibilizados ao longo do texto refer\^{e}ncia
que podem ser consultados.
Palavras chave: Mec\^anica Estat\'{\i}stica de N\~ao-Equil\'{\i}brio, M\'aquinas T\'ermicas, Rela\c{c}\~oes de Flutua\c{c}\~ao, Entropia e Calor, Transporte de Calor.
Abstract: Owing to the interest in the behaviour and modus operandi of nanoscopic systems, whether they are biological or related to technological applications, the study of fundamental thermodynamic problems gained an additional boost for the past 20 years and to some extent has replaced the study of critical phenomena and phase transitions as the hot issue in statistical mechanics. As traditionally taught in undergraduate courses, Thermodynamics is a well established subject. The greatest difference between what I will call Traditional Thermodynamics and Modern Thermodynamics relates to the relevance of fluctuations in quantities as entropy, work and power. This means that the best representation for these quantities in such conditions is probabilistic rather than the deterministic formulation of Thermodynamics devised for macroscopic systems.
This probabilistic formulation clarifies many issues that have been subject to strong debate, namely the issue of the reversibility of a physical system that is intimately related to the non-negativity of the total variation of entropy. By means of the so-called fluctuation relations it becomes possible to evaluate how much a system is irreversible.
One of the first challenges for the impossibility of negative changes in entropy of isolated systems came from Maxwell's Demon. However, the greatest achievement of Maxwell's demon has been the establishment of a connection between the entropy --- the fundamental equation defining the thermodynamic state of a system --- with the amount of information about this system. This connection is the basis of Landauer principle that allows us to define a new type of reservoir from which we can extract work, the reservoir of information. The separation of entropy into adiabatic and non-adiabatic components allows obtaining new fluctuation relation which are reflected in the statement that in reality there is no Clausius principle but a set of relationships for each type of entropy involved in the description.
The introduction of a set of problems related to this subject is the primary aim of this document that does not find space in Thermodynamics and Statistical Mechanics courses offered during undergraduate and most graduate courses and aims to stimulate undergraduates and graduate students in the study of such problems. Unlike a standard course, many details regarding mathematical techniques are presented as short as possible so that it is possible to be understood the physical results. For further details references worth of consulting are available throughout the text.
Keywords: Non-Equilibrium Statistical Mechanics, Heat Machines, Entropy and Heat, Fluctuation Relations, Heat Transport.
sistemas nanom\'{e}tricos, sejam eles de origem
biol\'{o}gica ou relacionados com aplica\c{c}\~{o}es tecnol\'{o}gicas, o
estudo de problemas termodin\^{a}micos ganhou um f\^{o}lego adicional nos
\'{u}ltimos 20 anos, tendo este interesse substitu\'{\i}do em certa medida o
foco na teoria de fen\'{o}menos cr\'{\i}ticos e de transi\c{c}\~{o}es de
fase como um dos assuntos quentes. Tal como \'{e} habitualmente ensinada nos
diferentes cursos de gradua\c{c}\~{a}o, a Termodin\^{a}mica \'{e} um assunto
perfeitamente estabelecido e mais do que testado. A grande diferen\c{c}a
entre a Termodin\^{a}mica tradicional aquilo que denominarei de Termodin\^{a}%
mica Moderna prende-se com a relev\^{a}ncia das flutua\c{c}\~{o}es em
quantidades como a entropia, o trabalho e a energia do sistema. Isso
significa que a melhor representa\c{c}\~{a}o para essas quantidades em tais
condi\c{c}\~{o}es \'{e} probabil\'{\i}stica ao inv\'{e}s de uma formula\c{c}%
\~{a}o determinista que a Termodin\^{a}mica oriunda de sistemas macrosc\'{o}%
picos nos oferece.
Esta formula\c{c}\~{a}o probabilista permite clarificar muitas quest\~{o}es
que foram alvo de discuss\~{a}o intensa ao longo dos tempos, nomeadamente a
quest\~{a}o da reversibilidade de um sistema f\'{\i}sico que \'{e}
intimimamente relacionada com a n\~{a}o-negatividade da varia\c{c}\~{a}o
total de entropia. Atrav\'{e}s das chamadas rela\c{c}\~{o}es de flutua\c{c}%
\~{a}o torna-se poss\'{\i}vel avaliar o quanto um sistema \'{e} irrevers%
\'{\i}vel.
Um dos primeiros desafios colocados \`{a} impossibilidade de varia\c{c}\~{o}%
es negativas de entropia de sistemas isolados em equil\'{\i}brio veio do Dem%
\'{o}nio de Maxwell. Contudo, talvez o maior feito do Dem\'{o}nio de Maxwell
tenha sido o estabelecimento de uma liga\c{c}\~{a}o entre a entropia --- a
equa\c{c}\~{a}o fundamental que define o estado termodin\^{a}mico de um
sistema --- com a quantidade de informa\c{c}\~{a}o sobre esse sistema. Essa
liga\c{c}\~{a}o \'{e} a base do Princ\'{\i}pio de Landauer que nos permite
definir um novo tipo de reservat\'{o}rio de onde se pode extrair trabalho, o
reservat\'{o}rio de informa\c{c}\~{a}o. A separa\c{c}\~{a}o da entropia em
suas componentes abiab\'{a}tica e n\~{a}o-adiab\'{a}tica permite a obten\c{c}%
\~{a}o novas rela\c{c}\~{o}es de flutua\c{c}\~{a}o que se traduzem na indica%
\c{c}\~{a}o que, na realidade, n\~{a}o existe um princ\'{\i}pio de Clausius,
mas um conjunto de rela\c{c}\~{o}es para cada tipo de entropia envolvida na
descri\c{c}\~{a}o do problema.
A introdu\c{c}\~{a}o, ainda que breve, de um conjunto de problemas
relacionados com esta tem\'{a}tica \'{e} o alvo principal deste documento
que n\~{a}o encontra espa\c{c}o nos cursos de Termodin\^{a}mica e de Mec\^{a}%
nica Estat\'{\i}stica oferecidos durante a gradua\c{c}\~{a}o e na maioria
dos cursos de p\'{o}s-gradua\c{c}\~{a}o oferecidos na maioria das institui%
\c{c}\~{o}es e que visa estimular graduandos e p\'{o}s-graduandos no estudo
deste tipo de problemas. Ao contr\'{a}rio de um curso tradicional, v\'{a}%
rios detalhes a respeito de t\'{e}cnicas matem\'{a}ticas s\~{a}o
apresentados de forma t\~{a}o sucinta quanto poss\'{\i}vel de forma a que
seja poss\'{\i}vel entender-se os resultados que pretendemos obter. Para
maiores detalhes s\~{a}o disponibilizados ao longo do texto refer\^{e}ncia
que podem ser consultados.
Palavras chave: Mec\^anica Estat\'{\i}stica de N\~ao-Equil\'{\i}brio, M\'aquinas T\'ermicas, Rela\c{c}\~oes de Flutua\c{c}\~ao, Entropia e Calor, Transporte de Calor.
Abstract: Owing to the interest in the behaviour and modus operandi of nanoscopic systems, whether they are biological or related to technological applications, the study of fundamental thermodynamic problems gained an additional boost for the past 20 years and to some extent has replaced the study of critical phenomena and phase transitions as the hot issue in statistical mechanics. As traditionally taught in undergraduate courses, Thermodynamics is a well established subject. The greatest difference between what I will call Traditional Thermodynamics and Modern Thermodynamics relates to the relevance of fluctuations in quantities as entropy, work and power. This means that the best representation for these quantities in such conditions is probabilistic rather than the deterministic formulation of Thermodynamics devised for macroscopic systems.
This probabilistic formulation clarifies many issues that have been subject to strong debate, namely the issue of the reversibility of a physical system that is intimately related to the non-negativity of the total variation of entropy. By means of the so-called fluctuation relations it becomes possible to evaluate how much a system is irreversible.
One of the first challenges for the impossibility of negative changes in entropy of isolated systems came from Maxwell's Demon. However, the greatest achievement of Maxwell's demon has been the establishment of a connection between the entropy --- the fundamental equation defining the thermodynamic state of a system --- with the amount of information about this system. This connection is the basis of Landauer principle that allows us to define a new type of reservoir from which we can extract work, the reservoir of information. The separation of entropy into adiabatic and non-adiabatic components allows obtaining new fluctuation relation which are reflected in the statement that in reality there is no Clausius principle but a set of relationships for each type of entropy involved in the description.
The introduction of a set of problems related to this subject is the primary aim of this document that does not find space in Thermodynamics and Statistical Mechanics courses offered during undergraduate and most graduate courses and aims to stimulate undergraduates and graduate students in the study of such problems. Unlike a standard course, many details regarding mathematical techniques are presented as short as possible so that it is possible to be understood the physical results. For further details references worth of consulting are available throughout the text.
Keywords: Non-Equilibrium Statistical Mechanics, Heat Machines, Entropy and Heat, Fluctuation Relations, Heat Transport.
Palavras-chave
Mec\^anica Estat\'{\i}stica de N\~ao-Equil\'{\i}brio, M\'aquinas T\'ermicas, Rela\c{c}\~oes de Flutua\c{c}\~ao, Entropia e Calor, Transporte de Calor.
Texto completo:
PDFApontamentos
- Não há apontamentos.